Соблюдение принципа преемственности при обучении стохастики в школе

Соблюдение принципа преемственности при обучении стохастики в школе

Скорук М.В., учитель математики МАОУ «Центр образования № 13 имени Героя Советского Союза Н.А.Кузнецова»

Элементы комбинаторики и теории вероятностей стали обязательным компонентом школьного образования, усиливая его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволяет учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Существенным изменением в изучении прикладной математики является осознание того, что начинать формирование вероятностно-статистического мышления необходимо, по крайней мере, с основной школы. Федеральный государственный образовательный стандарт предусматривает, что выпускник основной школы должен владеть простейшими способами представления и анализа статистических данных; иметь представление о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях; уметь извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью статистических характеристик; использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений.

В различных учебниках, рекомендованных Министерством образования и науки РФ, наблюдаются отличия в изложении вероятностно-статистической линии. Примерная программа по математике, определяя перечень вопросов вероятностно-статистической линии, не дает ответа на вопрос, как этот материал должен изучаться в разных классах. Поэтому существует проблема отсутствия преемственности не только между учебниками различных авторов, но и в учебниках одной линии. Например, в учебниках линии УМК А.Г.Мерзляка в 5 классе рассматриваются комбинаторные задачи на перебор вариантов, в 6 классе - диаграммы, случайные события, вероятность случайного события; и только в 9 классе повторяется, уточняется и расширяется изученный ранее материал, что положительно влияет на подготовку учащихся к ОГЭ. В учебниках линии УМК А.Г.Мордкович в 5 классе рассматриваются диаграммы, происходит первое знакомство с понятиями «случайное событие», «вероятность случайного события»; в 6 классе вводится формула для подсчета вероятности случайного события. Учебник 7 класса включает элементы статистической обработки данных, 8 класса – элементы комбинаторики (раздел «Приложения» в конце учебника). К сожалению, в учебнике 9 класса не прослеживается вероятностно-статистическая линия, что не дает возможности качественной подготовки к ОГЭ.

Анализ учебников и требований к уровню выпускников дает основания утверждать, что изучение вероятности, как и других составляющих стохастической содержательной линии, формирование вероятностно-статистического мышления должно быть непрерывным, осуществляться поэтапно. На первом ознакомительном этапе, который охватывает начальную школу, происходит накопление необходимых представлений о конкретных случайных событиях в окружающем мире, формируются представления о случайных, достоверных и невозможных событиях, первые умения сравнивать, оценивать шансы наступления случайных событий. Следует отметить, что в начальной школе дети еще недостаточно готовы работать с дробями, поэтому учителям начальных классов не следует акцентировать внимание на вычислительных аспектах измерения вероятности. Достаточно научить детей решать простейшие игровые комбинаторные задачи на перебор вариантов и давать словесную характеристику вероятности появления события (более вероятно, менее вероятно, равновероятно). Так начинается формирование понятия случайной величины. Дети приходят к сознательному использованию формулы классической вероятности через эксперименты с монетками, игральными костями, бусинками и т.д. Младших школьников можно учить интерпретировать таблицы, схемы, диаграммы, графики, привлекать к проведению экспериментов, опросов. Выпускники начальной школы должны уметь проводить простейшие эксперименты и регистрировать результаты этих экспериментов, например, в виде таблиц.

На втором пропедевтическом этапе в 5 – 6 классах решение комбинаторных задач также происходит методом перебора вариантов, однако имеет отличия от начальной школы: в связи с возросшим уровнем абстрактного мышления учащихся желательно перейти к кодированию предметов с помощью букв или чисел, использованию «дерева вариантов», таблиц и т.п. В основной школе продолжается формирование понятия случайного события. В 5 классе целесообразно не вычислять, а сравнивать шансы наступления событий, пользуясь интуицией, собственным опытом. Начиная с 6 класса, стоит перейти к вычислению вероятности. Необходимо добиться понимания того, вероятность или шанс наступления того или иного события можно измерять также, как длину, время, массу к примеру. Больше внимания следует уделить процентным расчетам, использованию линейных и круговых диаграмм как способам изображения статистических данных, так как уже с 5 класса начинает изучаться описательная статистика. Учащиеся должны иметь представление об основных способах получения, представления и анализа статистических данных; о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о вероятностных моделях. Как итог работы в 5 – 6 классах можно предложить детям принять участие в учебном проекте «Социология и статистика», задача которого – научить детей проводить социологические опросы, обрабатывать и представлять полученную информацию с помощью компьютера.

В 7 – 9 классах основное внимание уделяется решению комбинаторных задач путем применения правил умножения и сложения. Главным становится формирование понятия вероятности на классической, статистической, геометрической основах. Подготовка к количественному измерению вероятности существенно отличается от измерения других величин, так как отсутствует эталон для измерения. На данном этапе дети должны научиться различать понятие вероятности и относительной частоты. Что касается статистических характеристик, то нельзя ограничиваться только вычислением моды, медианы, выборочного среднего. Необходимо выяснить, когда следует применять ту или иную характеристику. Можно также рассмотреть другие средние показатели (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное) и привести примеры задач, решение которых требует вычисления этих показателей.

В старшей школе при изучении комбинаторики вводятся понятия размещения, перестановки, сочетания. Изучение основных комбинаторных схем можно проводить на основе множеств или выборок. При изучении элементов теории вероятности стоит использовать статистическую интерпретацию основных фактов и понятий для того, чтобы полученные знания были практически значимы. Изучение статистики в старшей школе не должно дублировать то, что уже изучалось раньше. При наличии времени, готовности школьников, в классах с углубленным изучением математики можно познакомить детей с некоторыми аспектами статистики с опорой на неравенство Чебышева, биномиальное распределение. Следует отметить, что при изучении комбинаторики и теории вероятностей находят применение почти все содержательные линии курса математики. Это и вычисления, и преобразования выражений, и решение уравнений, и функции, и элементы геометрии.

Гораздо хуже обстоят дела с применением элементов стохастики в традиционных разделах школьного курса математики. Хотя вероятностно-статистический материал можно качественно использовать при изучении метода математического моделирования как важнейшего метода математической деятельности. Следует обеспечить связь вероятностно-статистического материала с другими содержательными линиями курса математики, а также с такими предметами как физика, химия, биология, история, география, так как все, что не находит применения, быстро забывается.